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Madhava-Reihe für π

Eine Mathematikseite ohne eine einzige Gleichung? Natürlich nicht:

\[ \pi = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} \pm\, \ldots \] Ohne JavaScript: (.svg). Ein erfrischender Zusammenhang von \(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \pm\, \ldots\) mit dem Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises! Diese Darstellung soll bereits dem indischen Astronomen und Mathematiker Madhava aus Sangamagrama um 1400 bekannt gewesen sein (cf. storyofmathematics.com). Ebenfalls geht sie auf den schottischen Mathematiker James Gregory (cf. history.mcs.st-and.ac.uk), der sie 1671 John Collins mitteilte, zurück. Gottfried Wilhelm Leibniz hat sie 1682 veröffentlicht. Beweis über die Taylor/Maclaurin-Reihe (.html). Zur Berechnung von \(\pi\) wird wie folgt notiert \[ \pi = 4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}, \] \(n \in \mathbb{N}\). Um ein besseres Konvergenzverhalten zu erzielen, kann sie mit der Reihentransformation des Schweizer Mathematikers Leonhard Euler umgeschrieben werden zu \[ \pi=2\left(1 + \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1\cdot2}{1\cdot3\cdot5} + \ldots + \frac{1\cdot2\cdots n}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)} + \ldots\right). \] Weiteres über die Zahl \(\pi\) finden Sie auf 3.14...eu, joyofpi.com, piday.org oder z.B. pi314.net.

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☛ Die beste Investition im Übergang zum Studium: Formeln, Tabellen, Begriffe: ofv.ch, ISBN 978-3-280-04193-2.

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\(\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots = \frac2\pi\) Copyright © 1593 Franciscus Vieta