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Madhava-Reihe für π

Eine Mathematikseite ohne eine einzige Gleichung? Natürlich nicht:

\[ \pi = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} \pm\, \ldots \] Ohne JavaScript: (.svg). Ein erfrischender Zusammenhang von \(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \pm\, \ldots\) mit dem Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises! Diese Darstellung soll bereits dem indischen Astronomen und Mathematiker Madhava aus Sangamagrama um 1400 bekannt gewesen sein (cf. storyofmathematics.com). Ebenfalls geht sie auf den schottischen Mathematiker James Gregory (cf. history.mcs.st-and.ac.uk), der sie 1671 John Collins mitteilte, zurück. Gottfried Wilhelm Leibniz hat sie 1682 veröffentlicht. Beweis über die Taylor/Maclaurin-Reihe (.html). Zur Berechnung von \(\pi\) wird wie folgt notiert \[ \pi = 4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}, \] \(n \in \mathbb{N}\). Um ein besseres Konvergenzverhalten zu erzielen, kann sie mit der Reihentransformation des Schweizer Mathematikers Leonhard Euler umgeschrieben werden zu \[ \pi=2\left(1 + \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1\cdot2}{1\cdot3\cdot5} + \ldots + \frac{1\cdot2\cdots n}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)} + \ldots\right). \] Weiteres über die Zahl \(\pi\) findet sich auf 3.14...eu, joyofpi.com, piday.org oder z.B. pi314.net.

Verfolgungskurven

Eine Anzahl \(n\) Mäuse, welche an den \(n\) Ecken eines (regulären) Polygons liegen, werden jeweils in zyklischer Reihenfolge von der nächstliegenden Maus (im Gegenuhrzeigersinn) magisch angezogen und bewegen sich stets in Richtung «ihrer» Maus. Darüber hinaus beeinflussen sich die Mäuse nicht. Es wird hier eine abnehmende Geschwindigkeit angenommen, im klassischen Fall ist diese konstant.

Wir kennen also den Anfangszustand des Systems (Positionen) und das Gesetz, nach dem das System seinen Zustand ändert (funktionale Beziehung zwischen den momentanen Positionen und den Geschwindigkeiten). Solche Probleme lassen sich besonders einfach numerisch durch das Euler-Verfahren lösen, welches im Prinzip für jedes Anfangswertproblem eines Systems von gewöhnlichen Differenzialgleichungen anwendbar ist. Die Konvergenz-Geschwindigkeit ist in diesem Fall unerheblich und daher ist das Verfahren nicht nur einfach vermittelbar, sondern auch dem Problem angemessen. Besonders anschaulich ist indessen eine numerische Simulation (des Euler-Verfahrens).

Numerische Simulation

Lassen wir im Hintergrund eine Uhr ticken und legen fest, dass sich bei jedem Tick die Mäuse um eine Strecke ihrem Ziel zu bewegen, haben wir bereits eine diskretisierte Formulierung des Problems. Dieses lässt sich relativ einfach in einem Computer-Programm umsetzen. Dabei errechnet sich z. B. die Position der Maus 1 (abhängig von Maus 2) rekursiv mit \[\label{a}\tag{0} \vec r_{1_{k}}=\vec r_{1_{k-1}} + h(\vec r_{2_{k-1}} - \vec r_{1_{k-1}}), \] wobei der konstante Faktor \(h\) den Anteil der Verbindungsstrecke angibt, welcher in jedem Zeitschritt zurückzulegen ist. Für den klassischen Fall einer konstanten Schrittweite normieren wir einfach \[\label{a_norm}\tag{1} \vec r_{1_{k}}=\vec r_{1_{k-1}} + h\cfrac{(\vec r_{2_{k-1}} - \vec r_{1_{k-1}})}{|(\vec r_{2_{k-1}} - \vec r_{1_{k-1}})|}. \] Genauso wird in zyklischer Reihenfolge für alle anderen Paare verfahren und nach jedem Zeitschritt eine Verbindungslinie gezogen. Dies sieht etwa so aus:

Euler-Verfahren VerfolgungVerfolgung QuadratVerfolgung PentagonVerfolgungskurven

Konvergenz beim Dreieck für \(h=0.05\) und \(k=1,\ldots, 200\) (.txt); beim letzten Bild sind die Mäuse z. T. diagonal verknüpft.

☛ Klassischer Fall mit äquidistanter Schrittweite (\(v=\mathrm{konst.}\)): gleichseitiges Dreieick (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf); Quadrat (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf); reguläres Pentagon (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf)
☛ Kombinationen mit (\(v\ne\mathrm{konst.}\)): gleichseitiges Dreieck (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf)
☛ Anstelle von Linien kann nach jedem Schritt auch direkt ein Polygon gezeichnet werden: (.svg)/(.pdf).
☛ andere Konstellationen (.svg) (Polygone) (.svg)/(.pdf) (Linien), (.svg)/(.pdf); (.svg)/(.pdf)

Es sieht so aus, als bewegten sich die Mäuse auf Spiralen. Ausgehend von einem regulären Polygon kann gezeigt werden, dass sich die Mäuse nach jedem Zeitschritt wieder auf einer verkleinerten und rotierten Version des Polygons befinden (was die Simulation bereits vermuten lässt (.svg); Gleichung \( (\ref{a}) \) würde einen Fehler sogar «regularisieren»). Es ist daher auch möglich ist, ähnliche Bilder aus durch Drehstreckung erzeugte Kopien des Polygons mit gleichem Polygonzentrum zu erzeugen:

Verfolgung mit geschachtelten Quadraten KonturVerfolgung mit geschachtelten QuadratenVerfolgung mit geschachtelten PentagonenVerfolgung mit geschachtelten Pentagonen

Im klassischen Fall (\(v=\mathrm{konst.}\)) handelt es sich um logarithmische Spiralen. Ein Beweis findet sich auf did.mat.uni-bayreuth.de. Insbesondere über die «Hundekurven» gibt die Ausgabe No. 95-06 der «Berichte über Mathematik und Unterricht» der ETH Auskunft ethz.ch (.pdf).

«Spira mirabilis»

Die logarithmische Spirale wird besonders einfach in Polarkoordinaten beschrieben durch die Gleichung \[ \quad r(\varphi) = a \mathrm{e}^{k\varphi} ,\quad a,\,k,\,\varphi \in \mathbb R \] (Bezeichnungen gemäss wikipedia.com); ist \(k=0\), beschreibt die Gleichung einen Kreis mit Radius \(a\). Dieser Parameter \(k\) wird als Steigung der Spirale bezeichnet \[ k = \tan \alpha\quad \mathrm{mit} \quad\alpha \in \left] -\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right[, \] wobei \(\alpha \) Steigungswinkel heisst. Ist dieser Winkel konstant, handelt es sich um eine logarithmische Spirale.

☛ Hier kann die Wirkungsweise der Parameter ausprobiert werden: (.html)

Wird die Gleichung der Spirale nach \(\varphi\) aufgelöst, zeigt sich der natürliche Logarithmus, nach dem die Spirale benannt ist \[ \varphi(r) = \frac {1}{k} \ln \left( \frac {r}{a} \right). \] Jakob Bernoulli nannte sie liebevoll «spira mirabilis» (wundersame Spirale), denn sie weist einige ganz einzigartige Eigenschaften auf und wird in natürlichen Phänomenen auf eindrückliche Weise sichtbar.

☛ Das Zeichnen der logarithmischen Spirale mit dem Zirkel, Bulletin VSMP No. 115, 2011, pp. 10-18: vsmp.ch (.pdf)

√ SQRT mit dem Rechenschieber

Der Rechenschieber ist wahrscheinlich das Instrument, welches der Ingenieurskunst am meisten Verbreitung gebracht hat. Er ist eine Art Taschenrechner unserer Grosseltern. Beim Aufstellen von Gleichungen der Art \(a=b^x\) und bei ihren Lösungen \(x\), den ominösen Logarithmen, geht der wundersame praktische Aspekt noch nicht auf: Multiplikation (Division) durch die leichtere Addition (Subtraktion) ersetzen! Die Berechnung einer Quadratwurzel reduziert sich auf eine Division durch 2.

Faber Castell 2/82 N
Faber Castell 2/82 N, hier eingestellt zur Berechnung von \[ \sqrt[4.2]{35}\approx 2.33. \] Da lassen sich durchaus harte Nüsse knacken! Typischerweise liegen 3 signifikante Stellen drin.

Ein Rechenschieber ist aus meiner Sicht von hohem didaktischen Wert, denn er erlaubt «händisches» Rechnen unter cleverer Verwendung grundlegender Zusammenhänge wie der Funktionalgleichung \[ \Phi(x\cdot y)=\Phi(x)+\Phi(y). \] Augustin Louis Cauchy hat 1821 gezeigt, dass die Lösungen \(\Phi\) der Funktionalgleichung definiert von \(\mathbb{R}^+\) nach \(\mathbb{R}\) genau die Logarithmusfunktionen \(\Phi = \log_a(x)\) mit \(a\in\mathbb{R}^+\) sind. Sie werden somit durch die Eigenschaft, eine Multiplikation in eine Addition zu verwandeln, hergeleitet. Es wäre somit nicht abwegig, ausgehend vom Rechnen mit Potenzen, damit zu beginnen.

Auf der Seite rechenschieber.org findet sich eine ganze Auswahl von Anleitungen. Ein einfacher Rechenschieber kann mittels einer Kopiervorlage auch serienmässig gebastelt werden, wie etwa jener für eine «Lange Nacht der Mathematik» (hs-karlsruhe.de) hergestellten math.kit.edu (.pdf).

Medien / Vorlesungen

🔒 Materialien

Unterricht

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☛ Die beste Investition im Übergang zum Studium: Formeln, Tabellen, Begriffe: ofv.ch, ISBN 978-3-280-04193-2.

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\(\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots = \frac2\pi\) Copyright © 1593 Franciscus Vieta