Vektorgrafiken

Eine Vektorgrafik enthält auf schlanke Weise die Darstellung von (mathematischen) Objekten wie Linien, Kreise, etc. Ihre Auflösung bleibt im Gegensatz zu einer Rastergrafik auf jeder Ebene erhalten, was sie besonders attraktiv für zoombare Medien macht. Mittlerweile unterstützen die meisten Navigatoren das Format SVG für skalierbare Vektorgrafiken; für die Spezifikationen siehe: w3.org. Beispiel einer einfachen Grafik (.svg), (.txt), (.html); als Muster: (.svg) (510 Bytes), (.pdf) (5.7 kB).

Ein weiterer Vorteil ist ihre Transparenz. Vektorgrafiken eignen sich somit im direkten Sinn des Wortes ausgezeichnet für die Darstellung von Moirémustern und allerlei sonstigen optischen Täuschungen!

☛ TRANSLATE (google.com).

Moirémuster und optische Täuschungen

“You don't need something more to get more – that is what emergence means.” — Murray Gell-Mann, “Beauty and truth in physics”, 2007

Moiré-Effekt mit dem Bildschirm

Hier kann getestet werden, ob sich ein Moiré mit dem eigenen Bildschirm oder der Projektionsfläche ergibt. Achtung: grosse Unterschiede zwischen verschiedenen Applikationen!

• Quadrate (.html), (.html); Kreise (.html)

Es werden sich auch aus den folgenden Bildern Moiré-Effekte mit dem Bildschirm ergeben. Die meisten Navigatoren erlauben die ganze Ansicht zu vergrössern oder zu verkleinern; damit lassen sich diese Effekte verringern oder steigern.

Kreise, Strecken und Punkte

• Parallele Strecken und konzentrische Kreise mit äquidistanten Radien (.html), Veranschaulichung mit Leitgeraden (.pdf); nicht konzentrische Kreise (.html), (.html)
• Viele Kreise (.html), (.svg)/(.pdf), (.html), farbig (.svg)/(.png), kräftige Lineatur (.html), (.html)
• Fresnelsche Zonenplatte (.svg)/(.png)/(.pdf); Überlagerungen (.html), (.html)
• Strecken (.html), (.html), farbig (.html), Liniengitter (.html), (.html), (.html), (.html), Standbilder (.svg)/(.png), (.svg)/(.png); parallel mit zunehmendem Abstand (.html); Drehstreckung (.svg)/(.png)
• Streckenzüge parallel (.html), mit zunehmendem Abstand (.html)
• Punkte • quadratisch angeordnet (.html), (.html), (.html), (.html); rechteckig angeordnet: (.html), (.html); Punktraster und Komplement (.html), (.html); Quadratpunkte Folie (.pdf)
• Punktmuster (.html), RGB (.html), Kreismuster (.html), Parkettierung (.html)

Schwebung

• Schwebung (.svg) hören: 440 Hz und 444 Hz erklingen zusammen (.opus) [440 Hz (.opus); 444 Hz (.opus)]
  Periodizität einer Schwebung sehen: (.html), Überlagerung durch Verschieben eines Graphen (.html)
• Harmonische Schwingungen multiplizieren (.html)

Strahlen (sternförmige Objekte)

Einige der folgenden Vektoren werden im Navigator möglicherweise unzureichend wiedergegeben, wenn Kantenglättung (Anti-Aliasing) angewendet wird. Bitte prüfen Sie dies mit dem folgenden Bild (.pdf). Das entsprechende Vektorbild (.svg) sollte mindestens genauso gut aussehen.

• Stern 1 (Dreiecke radial um Punkt) (.html), deformiert (.html), gezackt (.html), (radial in Quadrat) (.html)
• Stern 2 (radial um Kreis in Rechteck) (.html), (radial um Ellipse) (.html)
• Stern 3 (entlang Quadrat) (.html), (.html), (.html), (.html), (.pdf), (.pdf)
• Mehrfache farbige Überlagerungen (.svg)/(.pdf)/(.png), (.svg)/(.pdf)/(.png); Rotationen (.html), (.html), (.html), Ausschnitt (.html), farbadditiv (.html)
• Stern dreifarbig (.html), (.html), (.html), spiralförmiges Moiré (.html), (.html)
• Kachelartig angeordnet und überlagert (.html), (.html), (.html), (.html)
• Einfache Strahlen (.svg)/(.pdf), (.html), (.html), (.html), (.svg), (.svg), Korridor-Illusion (.html)
• Strahlen in Rosette erstellen (.html), a = 0: Kreis (.html), a = 4 (.html)

Geschachtelte Quadrate

• Variable Konturstärke (.html), (.html); feste Konturstärke (.html), mehrfach überlagert (.html), (.html), (.html), Drehstreckung (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf)

Emergente Zeichen: «Linseneffekt»

• SQRT √ (.html), (.svg)/(.pdf)/(.png); alte Version (.png)
• Σ (.html), Linseneffekt (.html), invertiert (.html) | Spirale (.html)
• 2er-Muster mit Scherung (.html)/(.pdf)/(.png) | + (.html), (.html), (.html)
• Zufällig verteilte abgestimmte Raster (.html), invertiert (.html)

Kurven und Pfade

• Möglichst genau geplottet: Hyperbeln (ohne Bézier) (.html), (.html), Hyperbelgitter (.svg)/(.pdf), (.html), Sinus (.svg), Kotangens (.html), (.html)
• Quadratische Bézierkurven: Parabeln (.html)/(.html), alte Version (.html)
• Kubische Bézierkurven: sinusförmig (.html), (.html), Freihand-Kurven (.html), (.html), (.html)

Schachbrettmuster

• Translation und Rotation (.html), (.html), Folie (.pdf); Rotation 3 Lagen (.svg)/(.png), (.html), (.html); 4 (.html), (.html), 5 (.html), (.html), (.html)

Dreieckmuster

• Gleichseitige ▲ (.html), Höhe = Basis (.html), Grafiken ohne das SVG Element ‹pattern› (.html), (.html), (.html) (rendern evt. etwas langsamer)
• 3 Lagen (.svg)/(.png), (.html), (.html), 4 (.html), (.html), 5 (.svg)/(.png), (.html); farbig (.html), (.html), (.html), (.html)
• Dreieck- und Quadratmuster gemischt ▲ ◼ (.html), farbig (.html), (.html), 5 (.html), farbig (.html), (.html)
• Drehstreckungen (.svg)/(.pdf) (Eckpunkt), (.svg)/(.pdf) (Schwerpunkt)

Wabenstruktur (Hexagonnetz)

• Folie (.pdf), Überlagerung (.html), 3 Lagen (.html), 4 (.html), farbig (.html), (.html), (.html), (.html) | Hexagon (Polygon, 10 Ziffern) (.svg), Test Überlagerung Hexagonnetz (.svg)/(.png)/(.pdf), Hexagonschar (.html)

Carreaux miraculeux

• Verschieb- und skalierbar (.html), (.html), fix (.html), (.html); andere Varianten (.html), (.html); (.html)

Fensterrosen (rosettenartige Moirébilder)

• Verschieb- und skalierbar (.html), (.html), weitere Muster (verschiebbar) (.html), (.html), (.html), (.html), (.html)

Klammern, Wellen und 3D-Effekte

• Klammern (.html); mit ‹pattern› (.html), (.html), (.html), wellenartiger 3D-Effekt (.html), (.svg)/(.pdf); (.svg)/(.pdf), Rosettenschar (.svg)/(.pdf), rotiert (.svg)/(.png), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), eine einfache Rosette selber erstellen (.html), Moiré-Kissen (.html), (.svg)/(.pdf)
• Moiré aus einer verallgemeinerten Lissajous-Figur zum Ausprobieren (.html), erste Fourier-Summanden (.html), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), grosse Schrittweite (.svg)/(.pdf)
• Fadenmodelle (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), ist das nicht famos? (.svg)/(.pdf) (3.22 kB / 6.78 kB), (.svg)/(.pdf) im regulären Fünfeck (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), reguläres Sechseck (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf)
• Linienabstand als Funktion des Sinus (.html)/(.svg)/(.pdf); als Funktion von SQRT (.svg)/(.pdf); mit Gaussverteilung (.html), (.svg), (.svg) [TeX Makro für die letzte Grafik: melusine.eu.org / ctan.org]; eine solche Grafik schmückte schon das Titelbild eines der berühmtesten Artikel zum Moiré-Effekt, jstor.org.

Maurer Rosetten

• Maurer Rosetten (.hmtl): (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf); Füllfarbe (evenodd): (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf)
• Mit Kreisunterteilung (.hmtl): (.png), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf); sin³ (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), sin⁻³ (.svg)/(.png)
  
  
• Animation im hellen Design I (.html), dunkel (.html), II (.html), dunkel (.html)

Verfolgungskurven

• Euler Methode (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), Schachtelung im SVG (.svg)/(.pdf); (.svg)/(.pdf), Pentagon (.svg)/(.pdf), überlagert (.svg)/(.pdf), (.pdf), (.pdf), inverse Schrittlänge (.svg)/(.pdf); geschachtelt (.svg)/(.pdf)
• Eine andere Variante im Dreieck (.html)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf); Verfolgt vom Gedanken der Verfolgung? (.html)

Konforme Abbildungen

• Transformation eines Quadratgitters unter der komplexen Sinusfunktion f(z)= sin(z), z = x + iy, mit –1 ≤ x ≤ 1 und –1 ≤ y ≤ 1, überlagert (.svg)/(.pdf), f(z) = z³ (.svg)/(.png), tan(z) (.png), (.svg)/(.png), 1/z: Inversion am Einheitskreis (.png)
• Transformation eines Dreieckgitters (.png) unter der komplexen Sinusfunktion (.png) (Ausschnitt); Inversion am Einheitskreis (.png), (.png), mit einem leicht veränderten Gitter (.png) ergibt sich wieder mit f(z) = 1/z eine jecke Form (.png), Gitter in Dreieckform (.png) zentriert um Schwerpunkt wieder mit 1/z (.png)/(.pdf), ohne Unterteilung der Schrittweite (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), zentriert im Quadrat (.png)/(.pdf)
• Transformation eines Peano Polygonzuges, n = 4, unter der komplexen Funktion f(z) = z³ (.svg)/(.png), (.svg)/(.pdf), Gosper n = 5, z⁵ (.png), 1/z (.png)
• Verfolgungskurven im gleichseitigen Dreieck mit f(z) = z² (.svg)/(.pdf), tan(z) (.svg), 1/z (.svg)/(.pdf)/(.png), z^–2 (.svg)/(.pdf)
  Verfolgungskurven im Quadrat mit f(z) = 1/z (.pdf)/(.png), überlagert (.png), z³ (.svg), konstante Schrittweite (.svg)/(.pdf), exp(z) (.svg)/(.pdf), cos(z) (.svg)/(.pdf)
  Verfolgungskurven im regulären Pentagon mit z³ und Farbverlauf (.svg)/(.pdf), Variante mit Pentagramm (.svg)/(.pdf), 1/z mit konstanter Schrittweite (.svg)/(.pdf)
• Konturplot (Realteil cyan, Imaginärteil rot) mit f(z) = 1/z (.png), f(z) = z^cos(z) (.png), f(z) = cos(1/z) (.png)

Fading Effekt

• Überlagerte auslaufende Muster mit Rotation und Translation (.html), (.html), (.html), (.html), (.html), (.html), (.html)

Glass Muster und anderes

• Glass-Muster (.pdf), (.svg); (.html), (.svg), Parabelschar (.html), emergenter Stern (.ps)/(.png), TeX-Makro für die letzte Grafik bei ctan.org.
• Einfache versteckte Formen (.html), (.html), Schriftzug (.html), Speichenrad (.html)
• Agfa1 (Rastergrafik) (.png), (.svg); Küchensiebe (.mp4)
• Rasterfolie (pinhole / stenopeic layer) 1. (.svg)/(.pdf), 2. (.svg)/(.pdf)

Achtung! Browser auf mobilen Geräten, welche auf ‹SVG Tiny› zurückgreifen, stellen Vektorgrafiken mit dem Element ‹pattern› als Rastergrafik dar.

Optische Täuschungen

• Neon Farbeffekt (van Tuijl, Ehrenstein) (.html), (.pdf), Gitter (.svg)
• Isia Leviant's Enigma Täuschung rot-gelb (.svg), (.svg), lichtgrün (.svg)/(.png), Quadrate (.svg), violett-lila (.svg)/(.png), (.svg)/(.png)
• Kanizsa euklidisch (.svg), sphärisch (.svg), hyperbolisch (.svg), (.svg)/(.png)
• Flächenkontrast (.svg), (.html), Flächenkontrast (.html), (.svg) | Würfel (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf)
• Poggendorff (.html) | Reliefs (.svg), (.svg); + (.svg), (.svg); Verzerrung (.html)
• Rot und blau ★ (.html), (.pdf), (.svg), (.html), (.html)
• Einfacher Anaglyph (vorne - hinten) (.svg), (.html), 3D: Die Moka Express bitte immer am Griff fassen! (.jpg), (.jpg), (.jpg), (.jpg), (.jpg), (.jpg)
• Rotoreliefs (.html), (.html), (.html)

Für weitere optische Täuschungen siehe z. B.:

• Akiyoshi's illusion pages, ritsumei.ac.jp
• Optische Täuschungen & Sehphänomene, michaelbach.de
• Illusions d'optique, jeux-et-mathematiques.davalan.org

Wärmstens empfehlen möchte ich die phänomenalen Moirémuster des japanischen Grafikers Takahiro Kurashima: takahirokurashima.com.

Einer der ersten, der sich wissenschaftlich mit der physiologischen Optik befasst, ist Hermann von Helmholtz: e-rara-21259, en français: gallica.bnf.fr.

Aus der ‹openclipart›

Penrose «Dreieck» openclipart.org [1a], [1b], «Wellen» [2], «Rotation» [3], «3D» [4], Farbvariante der «Fraser Spirale» [5], «Adelson Schatten» [6], Farbhintergrund [7].

Rekursive Grafiken

Selbstähnliche Figuren können sowohl durch Schachtelungen im Text der Vektorgrafik selber als auch durch Erzeugen eines Pfades mit einem externen Programm erstellt werden. Kombinationen der beiden Methoden ergeben oft eine willkommene Optimierung hinsichtlich Darstellungszeit versus Datenmenge.

• Linienbaum (.svg)/(.pdf) ☛ Drachenbaum wikimedia.org, mit Zufallsfaktor r ∈ [0.6, 1] für die Astlänge (.svg)/(.pdf), H-Baum (.svg)/(.pdf)
• von Koch-Kurven (.svg)/(.pdf), Schneeflocke (.svg)/(.pdf), baumartige Variante (.pdf), quadratische Versionen (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), Variante mit Zufallsfaktor r ∈ [0, 1] angewandt auf Winkel und Schrittweite (.svg)/(.pdf)
• Peano-«Kurve» der Ordnung 2. Besonders schlagend sind in Grafiken dieses Typs relative Pfadkoordinaten: Auswurf meiner Vektorturtle 2.2 kB (.svg), optimiert durch Scour github.com mit Python ergibt 537 Bytes (.svg), rund 75% Reduktion! Es lohnt sich hier ein extra Skalierungsfaktor, um den schönen Pfad mit praktisch nur einstelligen ganzen Zahlen zu behalten; Ordnung 4 (.svg)/(.pdf) (9 bzw. 10 kB)
• Hilbert-«Kurve» der Ordnung 7 in einem Pfad (.svg)/(.pdf) (nur 32 bzw. 37 kB!), Ordnung 9, zusammengesetzt aus 4096 H4 Polygonzügen (.svg)/(.pdf) (nur 2.3(!) bzw. 19 kB). Freilich kann man auch von H1 ausgehen, allerdings mit einem etwas grösseren Dokument und einer längeren Darstellungszeit, vgl. Basis Schachtelungen weiter unten (.svg)
• Polygonzug in Sierpiński-Dreieck der Ordnung 10 (.svg)/(.pdf), erzeugt durch die einfache Funktion (.txt); Gosper-«Kurve» der Ordnung 5 (.svg)/(.pdf), geschlossener Pfad (Szilard 1979, O4) (.svg)/(.pdf)
• Papierstreifenfalt- oder Drachen-Polygonzug der Ordnung 15 (.svg)/(.pdf) (nur 41 bzw. 63 kB, wobei der letzte Iterationsschritt durch SVG ‹href› erreicht wird)
• Basis Schachtelungen in SVG Dateien: Vicsek-Fraktal (.svg)/(.pdf), T-Quadrat-Fraktal O(7) (.svg), O(8) (.svg)/(.pdf), Sierpiński-Dreieck von «Wereon» O(1) bis O(5) wikimedia.org, bis O(10) (.svg)/(.pdf); Sierpiński-Teppich von Johannes Rössel «Joey-das-WBF» O(6) wikimedia.org; solche Schachtelungen sind clever und extrem platzsparend, erforden aber zum Teil reichlich Zeit beim Rendern, wie die nächste Ordnung zeigt (.pdf)/(.svg), 4 kB, die es in sich haben!
  Variante mit Schweizer Kreuz O(0) - O(6) (.html); ein Kreuz ist ein Kreuz ist ein Kreuz (.svg)/(.pdf)
• Rekursive Anordnung eines Zeichnungselements (Strahlen) (.svg)/(.pdf), spiralförmig (.svg)/(.pdf) (1.4 kB / 2.5 kB); mit einfachem Pfad (.svg)/(.pdf) (1.3 kB / 2.5 kB)
• Pythagorasbaum (.svg)/(.pdf) ☛ Wunderschönes Programm von Guillaume Jacquenot github.com, das er auf Matlab geschrieben und ins dazu gut kompatible python.org übersetzt hat. Ermöglicht damit Hinzunahme der ‹Colormaps› der matplotlib.org und vieles mehr.
• Anstelle von rekursiv definierten Funktionen können «Lindenmayer-Systeme» (.html) implementiert werden. Gefällig und interaktiv hat dies Marek Fišer malsys.cz umgesetzt. Mit seinem «L-system processor» ist folgende Grafik erstellt (.svg)/(.pdf)
• Hyperbolische Geometrie mit Jeremy Tan Jie Rui, «Singapore's original vector hacker» gitlab.com/parclytaxel: (.svg)/(.pdf)

Elektronische Blätter und Hefte

Diese Dokumente sind für den Gebrauch auf einem Tablet oder mobilen Gerät mit Stiftfunktion gedacht. Bitte beim allfälligen Ausdrucken die Wahl auf «tatsächliche Grösse» («Fit to printable area: none») belassen. Die Lineaturstärke beträgt dem Standard von TikZ gemäss 0.4 pt. Diesen Standard habe ich, von Spezialblättern abgesehen, übernommen.

• A4, liniert 9 mm azurblau (.svg)/(.pdf), hellgrau (.svg)/(.pdf), kariert 4 mm azurblau (.svg)/(.pdf), hellgrau (.pdf), kariert 5 mm azurblau (.svg)/(.pdf), hellgrau (.pdf), «rautiert» 5 zu 9 mm azurblau (.svg)/(.pdf), hellgrau (.pdf), 4 zu 7 mm (.svg)/(.pdf); Millimeterpapier (.svg)/(.pdf)
• Minimalistische Vektorgrafik mit dem Element ‹pattern› in Pixel, 1000 × 1000, 10 kariert azurblau (.svg)/(.pdf), 20 kariert azurblau (.svg)/(.pdf)
• Übungsheft / Cahier A4 4 mm (.pdf), A4 5 mm (.pdf), A4 liniert 9 mm (.pdf), Carnet A6 kariert 5 mm (.pdf), Carnet A6 liniert 9 mm (.pdf)
• Notenblatt (.svg)/(.pdf), Notenheft (.pdf), Carnet (.pdf), Notenblatt Klavier (MusiXTeX) (.svg)/(.pdf), ohne Schlüssel (.svg)/(.pdf)
• Koordinatensystem I (.svg)/(.pdf); I-IV (.svg)/(.pdf); einfach logarithmisch (.svg)/(.pdf); Polarkoordinaten (.svg)/(.pdf)

Varia

Optimierte Darstellung von PDF und SVG Dokumenten

• SVG Elemente in Pfade umwandeln? (.html), Datenreduktion und Effizienz mit Scour github.com
• PDFKit: pdfkit.org, CairoSVG: cairosvg.org, Reportlab: reportlab.com, PDF Association: pdfa.org
• Klein, einfach und genau: Funktionswerte direkt in SVG Pfad schreiben (.py), (plot.svg), (plot_scour.svg)
• Besonders wendige Formen aus Liniensegmenten können mit SVG <stroke-linecap="round"> geschmeidig gemacht werden (.svg)/(.pdf). Ein ganzer Pfad (.svg)/(.pdf) ist hier wegen der Verjüngung der Konturstärke (noch?) nicht möglich.
• Browservergleich beim Rendern von Vektorgrafiken: Firefox 85.0 (.png), (.png), Brave 1.19.88 (Chromium) (.png), (.png)
• Kontrolle durch den Moiré-Effekt (.html)

Einige spezielle Vektor-Realisierungen

• Fraktur (.svg), (.svg), Spirograph, 3D-Effekt durch <fill-rule="evenodd"> (.svg)/(.pdf)
• Parkettierungen ganzer Seiten (.html), (.html), (.html), (.html), (.html), (.html), (.html), (.html)
• Vector Art (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf)
• Kurven (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.png), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf), (.svg)/(.pdf)

Formeln in HTML

Mathematik und HTML ist ein weites Feld (lange kein besonders ruhmreiches und ästhetisches…). Am besten erstellt man eine Vektorgrafik oder arbeitet via MathJax.org oder KaTeX.org, welche jedoch JavaScript voraussetzen.

• MathJax/JavaScript: SQRT Formula Creator CHTML (.html), SVG mit Dateispeicherung (.html), Euler Kettenbruch (.html), MathML (.html)
• KaTeX/JavaScript: Euler (.html), SQRT FormulaCreator (.html), Bsp. Stefan-Boltzmann-Gesetz (.html)
• SVG's: Eulersche Zahl (.svg)/(.pdf), (.svg); Maxwell-Gleichungen (.svg); Dirac-Gleichung (.svg); Entropie eines Schwarzen Loches (.svg); Schaltung und Kettendivision (.svg), Multiplikation (.svg); Folgerichtigkeit (.svg)

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