Berechnungen zur Astroide
Die Astroide (Sternkurve, 4-eckige Hypozykloide) ist durch die Parametergleichungen $$ \boxed{\begin{align}\nonumber x(t) &= a \cos^3 t\\ \nonumber y(t) &= a \sin^3 t \end{align}} $$ $\text{f\"ur}$ $t\in [0,2\pi[$ gegeben.
Quadratur der Astroide
Es soll der $\text{Fl\"acheninhalt}$ $F$ der $\text{Fl\"ache}$ $OAB$ berechnet werden. Die $\text{Fl\"ache}$ der ganzen Astroide ist dann viermal so gross.
$$ F_{OAB}=\int_0^a y(x)\,\mathrm{d}x $$ Da kein Ausdruck $y(x)$ da ist, nehmen wir die Substitution $$ \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = a\cdot 3\cdot \cos^2 t(-\sin t) \,\mathrm{d}t $$ vor und berechnen die Integrationsgrenzen neu mit $$ \begin{align}\nonumber x = 0\; &\quad\text{f\"ur}\quad t=\tfrac{\pi}{2}\\ \nonumber x = a\; &\quad\text{f\"ur}\quad t=0 \end{align} $$ zu $$ F_{OAB}=\int_\frac{\pi}{2}^0 \underbrace{a\sin^3 t}_{\text{``}y\text{''}} \cdot \underbrace{-3a \cos^2t \sin t \,\mathrm{d}t}_{\text{``}\mathrm{d}x\text{''}} = +3a^2 \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^4 t \cos^2 t \,\mathrm{d}t. $$ Mit dem trigonometrischen Pythagoras $\boxed{\sin^2 t + \cos^2 t = 1}$ ist $$ \sin^4 t \cos^2 t = \sin^4 t(1 - \sin^2 t) = \sin^4 t - \sin^6 t $$ und das Integral vereinfacht sich somit zu $$ 3a^2 \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^4 t \cos^2 t \,\mathrm{d}t = 3a^2 \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^4 t \,\mathrm{d}t - 3a^2 \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^6 t\,\mathrm{d}t. $$ Diese Integrale lassen sich in der Form $$ \begin{align} \int \sin^k t \,\mathrm{d}t &= -\frac{1}{k}\sin^{k-1} t \cos t + \frac{k-1}{k}\int \sin^{k-2}t \,\mathrm{d}t \end{align} $$ schreiben.
Beweis von Gleichung (1)
Die Idee der partiellen Integration als «Umkehrung» der Produktregel $\;(uv)' = u'v + uv'\;$ ist am kompaktesten in der folgenden Form $$ \int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u $$
sichtbar. Beim Integral $$ \int \sin^k t \,\mathrm{d}t = \int \underbrace{\sin^{k-1} t }_{u}\cdot \underbrace{\sin t \,\mathrm{d}t}_{\mathrm{d}v} $$ wird die partielle Integration durch die angedeutete Wahl von $$ u = \sin^{k-1}t \quad \mathrm{und}\quad \mathrm{d}v = \sin t \,\mathrm{d}t $$ festgelegt und es ist $$ \,\mathrm{d}u = (k-1)\sin^{k-2}t \cos t \,\mathrm{d}t, \quad v = -\cos t. $$ Wie bei der Integration von $\sin^2 t$ allein kann der Trick durch den trigonometrischen Pythagoras auch hier zur Anwendung kommen, indem $\cos^2 t$ mit $1-\sin^2 t$ ersetzt wird. Wir erhalten dann wieder das gleiche Integral, von welchem wir ausgehen! $$ \begin{align}\nonumber \int \sin^k t \,\mathrm{d}t &= -\sin^{k-1}t\cos t + (k-1) \int \sin^{k-2} t \underbrace{\cos^2 t} _{1 - \sin^2 t}\,\mathrm{d}t\\ \nonumber &= -\sin^{k-1}t\cos t + (k-1) \int \sin^{k-2}t - \sin^{k}t\,\mathrm{d}t \\ \nonumber &= -\sin^{k-1}t\cos t + (k-1) \int \sin^{k-2}t\,\mathrm{d}t - (k-1)\int \sin^{k}t\,\mathrm{d}t. \end{align} $$ Das zweite Integral bringt man auf die linke Seite und dividiert durch $k$: $$ \int \sin^k t \,\mathrm{d}t = - \frac{1}{k}\sin^{k-1} t \cos t + \frac{k-1}{k}\int \sin^{k-2}t \,\mathrm{d}t $$ Q.E.D.
Speziell gilt $$ \begin{align} \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2 t \,\mathrm{d}t &= \left[- \frac{1}{2}\sin t \cos t + \frac{1}{2}t\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}\\ \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^4 t \,\mathrm{d}t &= \left[- \frac{1}{4}\sin^{3} t \cos t\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \frac{3}{4}\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2}t \,\mathrm{d}t\stackrel{(2)}{=}\frac{3\pi}{16}\\ \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^6 t \,\mathrm{d}t &= \left[- \frac{1}{6}\sin^{5} t \cos t\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \frac{5}{6}\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{4}t \,\mathrm{d}t\stackrel{(3)}{=}\frac{5\pi}{32}.\\ \end{align} $$ Damit ergibt sich ohne weitere Integrationsarbeit $$ F_{OAB}= 3a^2 \left(\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^4 t \,\mathrm{d}t -\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^6 t\,\mathrm{d}t\right) = 3a^2 \left(\frac{3}{16}\pi - \frac{5}{32}\pi\right) = \frac{3a^2\pi}{32}, $$ womit der $\text{Fl\"acheninhalt}$ der ganzen Astroide gleich $$ \underline{\underline{F_{\mathrm{Astroide}} = \frac{3a^2\pi}{8}}}, $$ ist, also $\,\cfrac{3}{8}\,$ der $\text{Fl\"ache}$ ihres Umkreises.
Bemerkungen
Bemerkung 0: Was oben etwas salopp mit «Substitution» bewirkt wurde, ist durch ein Kurvenintegral genauer formalisiert. Eine stetige Funktion $f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ wird entlang einer Kurve $C$, welche das Bild von $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n$ ist, integriert:
$$\int\limits_{C} \! f \,\mathrm{d} s:= \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \| \dot\gamma(t) \|_2 \, \mathrm{d} t,
$$
wo mit $\dot\gamma$ die Ableitung von $\gamma$ nach $t$ und mit $\|\dot\gamma(t)\|_2$ die euklidische Norm des Vektors $\dot\gamma(t)$ gemeint ist, cf. de.wikipedia.org.
Die $\text{L\"ange}$ der Kurve ist dann
$$
\int\limits_{C} \mathrm{d}s = \int\limits_a^b\|\dot\gamma(t)\|_2\,\mathrm dt,
$$
welche weiter unten wieder etwas weniger zeremoniell geschrieben wird.
Bemerkung 1: Eine ebene $\text{Fl\"ache}$ $\int\int \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ durch ein Kurvenintegral (mit parametrisierten Gleichungen) zu berechnen, ist ein einfaches Beispiel des Satzes von Green (als Korollar zum Satz von Stokes) cf. de.wikipedia.org. Wir $\text{h\"atten}$ somit auch mit $\int x(y)\,\mathrm{d}y$ oder $\frac{1}{2}\int x(y)\,\mathrm{d}y - y(x)\,\mathrm{d}x$ starten $\text{k\"onnen}$. Das letzte Integral ist auch als Sektorformel von Leibniz bekannt, cf. $\text{K\"onigsberger}$, Konrad: Analysis 1. 3. Auflage, Springer-Verlag 1995. 12.5, Satz 4. Es entspricht $\frac{1}{2}\int r^2\,\mathrm{d}\theta$ in Polarkoordinaten $(r,\,\theta)$.
Bemerkung 2: Stichwort Polarkoordinaten $(r,\,\theta)$: $\theta$ $\text{l\"asst}$ sich zwar leicht erhalten $$ \theta = \arctan\left(\frac{a \sin^3 t}{a \cos^3 t}\right) = \arctan(\tan^3 t); $$ um aber in Polarkoordinaten $\text{\"uber}$ $\theta$ zu integrieren, muss ein Ausdruck $r = r(\theta)$ gefunden werden $$ r(\theta)=\frac{1}{|\cos(\theta)| (1+\tan^{\frac{2}{3}}\theta)^\frac{3}{2}}, $$ cf. mathworld.wolfram.com; dieser ist allerdings nicht einfacher zu integrieren, oder doch?
Bemerkung 3: Es kann auch die Hypozykloide allgemein betrachtet werden, cf. mathworld.wolfram.com.
Rektifikation der Astroide
Die $\text{L\"ange}$ der Astroide ist $\text{\"uberraschend}$ einfach mit dem Radius ihres Umkreises $\text{verkn\"upft}$. Ausgehend von den Parametergleichungen rechnen wir wieder nur im ersten Quadranten $$ \begin{align}\nonumber x(t) = a \cos^3 t \quad &\Rightarrow\quad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -3\cos^2 t\sin t\\ \nonumber y(t) = a \sin^3 t \quad &\Rightarrow\quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = +3\sin^2 t\cos t. \end{align} $$ Ein kleines Kuvensegment $\mathrm{d}s$ errechnet sich mit Pythagoras von der Idee her wie $\;\Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\;$ zu $$ \mathrm{d}s = \pm\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \,\mathrm{d}t = \pm \sqrt{9a^2\sin^2 t\cos^2 t(\underbrace{\sin^2 t + \cos^2 t}_{=1})}\,\mathrm{d}t = \pm 3a\sin t\cos t \,\mathrm{d}t. $$ Damit wird $$ s = 3a\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sin t\cos t \,\mathrm{d}t = \frac{3a}{2}\Bigl[\sin^2 t\Bigr]_{\frac{\pi}{2}}^0 = -\frac{3a}{2}, $$ wobei das Vorzeichen hier irrelevant ist (man kann auch die negative $\text{L\"osung}$ der Wurzel nehmen). Die ganze Astroide ist $$ \underline{\underline{L_{\mathrm{Astroide}} = 6a}} $$ lang.
Darstellung als implizite Kurve
Die implizite Darstellung als Kurve in der Form $$ F(x,y) = 0\quad\text{z.\,B. ein Kreis mit Radius } a\text{:}\quad x^2 + y^2 -a^2 = 0 $$ ist $\text{f\"ur}$ die Astroide ebenfalls recht einfach. $\text{Daf\"ur}$ schreiben wir die Parameterdarstellung per Division durch $a$ leicht um $$ \begin{align}\nonumber \frac{x}{a} &= \cos^3 t\\ \nonumber \frac{y}{a} &= \sin^3 t. \end{align} $$ Mit der 3. Potenz ist wenig Vereinfachung $\text{m\"oglich}$. Nach $t$ $\text{aufl\"osen}$ und gleichsetzen... Wie Sie sicher gemerkt haben, tritt in diesem Thema immer wieder der trigonometrische Pythagoras als «Deus ex machina» hervor. $\text{H\"atten}$ wir doch Quadrate, dann $\text{w\"urden}$ wir den Parameter $t$ schnell los! $$ \begin{align}\nonumber \sqrt[3]{\frac{x^2}{a^2}} &= \cos^2 t\\ \nonumber \sqrt[3]{\frac{y^2}{a^2}} &= \sin^2 t. \end{align} $$ Durch Ziehen der 3. Wurzel und Quadrieren ist dies schon parat. Addieren der beiden Gleichungen ergibt $$ \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} = \underbrace{\left(\sin^2 t + \cos^2 t\right)}_{=1} \sqrt[3]{a^2} $$ und $\text{f\"uhrt}$ somit zu $$ \boxed{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} - \sqrt[3]{a^2} = 0}, $$ einer Kurvenfamilie $\text{zugeh\"orig}$, welche nach Gabriel Lam$\mathrm{\acute{e}}$ (1795-1870) benannt ist, cf. mathcurve.com.