Moiré-Effekt von Parallelen II

Algebraische Herleitung

Parametrisierte Gleichung oder Indizialgleichung

Wir betrachten zwei Scharen paralleler Linien:

1. Erste Gruppe: Horizontale, parallele Linien mit Abstand $a$ und ganzzahligem Index $m$:
   $$y = ma$$
2. Zweite Gruppe: Parallele Linien mit Steigung $w$, Abstand $b$ (gemessen vertikal zwischen den Linien für $n=0$ und $n=1$ entlang der $y$-Achse) und ganzzahligem Index $n$:
   $$y = wx + nb$$

Die Indizialgleichung lautet:

wobei $q \in \mathbb{Z}$ die resultierenden Moiré-Streifen indiziert.

Herleitung der Moiré-Linien

Schritt 1: Auflösen nach den Indizes $m$ und $n$

Wir isolieren die Indizes aus den Liniengleichungen:

Schritt 2: Einsetzen in die Indizialgleichung

Wir substituieren die Ausdrücke für $m$ und $n$ in die Indizialgleichung $m - n = q$:

Schritt 3: Vereinfachen und nach $y$ auflösen

Wir multiplizieren die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner $ab$:

Klammer auflösen:

Terme mit $y$ zusammenfassen und isolieren:

Wir teilen durch $(b-a)$, um die Gleichung für das Moirémuster zu erhalten (unter der Annahme $a \neq b$):

Resultat

Die Endgleichung beschreibt eine Familie von parallelen Geraden:

Die Moiré-Linien besitzen eine konstante Steigung $W$ und einen von $q$ abhängigen y-Achsenabschnitt $Q$:

Die Überlagerung führt somit zu einer neuen, gröberen Schar paralleler Linien.