Moiré, Quadratrix und Rankine-Körper

Bitte den Ladevorgang von GeoGebra abwarten. Achtung: Kurvenscharen brauchen etwas Zeit! PDF: (.pdf), English version: (.html)

Herleitung

Wir leiten die Kurvenschar durch die Schnittpunkte mit der Methode der Indizialgleichung her, siehe (.pdf) / engl. (.pdf).

Schritt 1: Indizes der Scharen bestimmen
Erste Schar (Parallele Geraden): Wir betrachten horizontale Geraden mit dem Abstand 1. Der Index ist $n = y$ .
Zweite Schar (Strahlenbüschel): Wir betrachten radiale Strahlen mit dem konstanten Winkelabstand $\frac{π}{p}$ . Der Index $m$ ergibt sich aus dem Winkel $α = m \frac{π}{p}$ . Mit $α = \arctan (\frac{y}{x})$ folgt durch Umstellen $m = \frac{p}{π} \arctan (\frac{y}{x})$ .

Schritt 2: Indizialgleichung anwenden
Wir verwenden die lineare Beziehung $m - n = q$ , wobei $q$ das Moirémuster indiziert. Einsetzen der Indizes liefert:

\frac{p}{π} \arctan (\frac{y}{x}) - y = q

Schritt 3: Kurvengleichung auflösen

\frac{p}{π} \arctan (\frac{y}{x}) = y + q

\arctan (\frac{y}{x}) = \frac{π}{p} (y + q)

\frac{y}{x} = \tan (\frac{π}{p} (y + q))

x = \frac{y}{\tan (\frac{π}{p} (y + q))}

Resultat:
Substituiert man die $y$ -Koordinate mit dem Parameter $t$ , resultiert die Kurvenschar:

(\frac{t}{\tan (\frac{π}{p} (t + q))}, t)

Spezialfall Quadratrix:
Für die Moiré-Linie mit dem Index $q = 0$ vereinfacht sich die Funktion zu $x = t \cot (\frac{π}{p} t)$ . Dies ist die geometrische Definition der Quadratrix des Hippias. Hippias von Elis untersuchte sie bereits um 430 und Dinostratus um 350 v. d. Z., cf. de.wikipedia.org, siehe auch eine der Miniaturen von Hans Walser zur Quadratrix: walser-h-m.ch.

Bemerkung:
Mit der Indizialgleichung $q = m + n$ ergibt sich $(t \cot (\frac{π}{p} (q - t)), t)$ , also die an der $y$ -Achse gespiegelte Kurvenschar.

Strömungslehre

Ebener Rankine-Körper

Überlagert man eine ebene punktförmige Quelle der Stärke $Q$ mit einer gleichförmigen Strömung der Geschwindigkeit $U$ in $- x$ -Richtung, so lautet die Stromfunktion in Polarkoordinaten $(r, θ)$

ψ = - U r \sin θ + \frac{Q θ}{2 π}

Der vordere Staupunkt liegt bei $θ = 0$ , wo $ψ = 0$ gilt; dieser Wert definiert die Halbkörper-Stromlinie. Mit $y = r \sin θ$ liefert $ψ = 0$ :

- U y + \frac{Q θ}{2 π} = 0 ⇒ θ = \frac{2 π U}{Q} y

Mit $t = y$ , $p = Q / (2 U)$ und $x / y = \cot θ$ ergibt sich direkt die Quadratrix-Gleichung

x = t \cot (\frac{π}{p} t)

Der Rankine-Körper ist somit exakt der Fall $q = 0$ unserer Moiré-Kurvenschar, mit $p = Q / (2 U)$ .

Die übrigen Kurven der Schar:
Lässt man $ψ$ einen beliebigen konstanten Wert annehmen statt $0$ , erhält man

ψ = - U y + \frac{Q θ}{2 π}

Aufgelöst nach $θ$ und mit denselben Substitutionen $t = y$ , $p = Q / (2 U)$ folgt

θ = \frac{π}{p} (t + \frac{ψ}{U})

und damit, eingesetzt in $x = t \cot θ$ , genau die allgemeine Kurvenschar $x = t \cot (\frac{π}{p} (t + q))$ mit

q = \frac{ψ}{U}

Jede Kurve $q \neq 0$ der Moiré-Schar ist also eine weitere Stromlinie desselben Strömungsfeldes.

Referenzen

G. Oster, M. Wasserman, and C. Zwerling: «Theoretical Interpretation of Moiré Patterns», J. Opt. Soc. Am. 54, 169-175 (1964).
C. E. Brennen: «Planar Rankine Half-Bodies», in An Internet Book on Fluid Dynamics, Caltech 2015, caltech.edu.

Zusatz

Eine entsprechende Übung aus der Strömungslehre (engl.): (.pdf)

Rankine half-body

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